BILANGAN RASIONAL SENILAI DAN KESEBANGUNAN BANGUN DATAR

Trisdyanto[1]

Pendahuluan

Bilangan merupakan satu aspek materi dalam kurikulum matematika sekolah SMP diantara aspek materi lainnya, yaitu Aljabar, Geometri dan Pengukuran, Statistika dan Peluang (Depdiknas, 2006:346).  Sementara pada jenjang SD Bilangan juga merupakan satu aspek diantara 2 aspek lainnya, yaitu Gemetri dan Pengukuran, Pengolahan Data (Depdiknas, 2006:417). Sedangkan pada jenjang SLTA, aspek Bilangan bukan merupakan aspek materi yang dikembangkan sebagai bahan kajian pelajaran, melainkan yang lebih lanjut pengembangannya. Ini berarti bahwa aspek bilangan merupakan aspek materi matematika sekolah yang diajarkan pada jenjang pendidikan dasar. Sebagai aspek materi yang menjadi bahan kajian mata pelajaran matematika, dipelajari peserta didik untuk memberikan dasar pengetahuan mengenai obyek matematika yang bersifat kuantitas. Obyek kuantitas dipelajari untuk mengenal sifat-sifat operasi bilangan, sebagai dasar pengembangan konsep dan struktur matematika yang lebih abstrak.

Bilangan, secara faktawi diwujudkan dengan lambang bilangan, yang melambangkan cacah suatu obyek yang dapat dihitung banyaknya hingga memenuhi kuantitas  tertentu. Bilangan satu dengan lainnya dipelajari untuk menghasilkan konsep-konsep lebih luas dalam hubungan antar bilangan.  Hubungan langsung diantara dua bilangan tunggal dinyatakan dalam hubungan kesamaan atau ketidaksamaan. Hubungan yang tidak langsung dapat dinyatakan dengan menggunakan aturan tertentu, yang biasanya dinyatakan dalam suatu pemetaan. Dalam banyak hal, konsep atau prosedur matematika yang melibatkan bilangan atau fakta lainnya dipelajari dalam hubungan kesamaan  atau sama dengan (=).

Hubungan kesamaan bilangan merupakan hubungan yang paling sederhana, yakni menyatakan kesamaan besarnya nilai bilangan yang disamakan. Sebagai hubungan atau relasi dua bilangan, biasa digunakan untuk merelasikan bilangan-bilangan dalam semesta himpunan bilangan yang sama atau berbeda, seperti himpunan bilangan real, yang meliputi bilangan rasional, bilangan irrasional, bilangan bulat, bilangan pecahan, bilangan asli, dan bilangan cacah. Salah satu hubungan kesamaan pada bilangan yang dipelajari peserta didik sejak jenjang sekolah dasar adalah kesamaan pada bilangan rasional, yang lebih dikenal dengan kesamaan pecahan atau biasa disebut sebagai pecahan senilai.  Lebih lanjut, konsep kesamaan pecahan tersebut dipelajari pada jenjang sekolah menengah pertama.

Namun demikian, konsep yang satu ini masih tidak dipahami atau sering dilupakan peserta didik pada jenjang SD atau SMP. Ketika dihadapkan dengan bilangan-bilangan dalam bentuk rasional peserta didik tidak mampu menyatakan hubungan yang benar. Ketidakmampuan peserta didik pada konsep kesamaan dua bilangan bentuk rasional dapat berakibat pada pencapaian kompetensi peserta didik pada konsep matematika lainnya yang mempersyaratkan konsep tersebut. Misalnya, konsep kesebangunan bangun datar, yang sangat dekat dengan konsep kesamaan bilangan bentuk rasional, masih sulit dipahami oleh kebanyakan peserta didik kelas IX SMP, sebagai akibat dari lemahnya pemahaman tentang kesamaan dua bilangan.  Salah satu factor yang menyebabkan kondisi tersebut adalah bahwa konsep kesamaan bilangan rasional tidak dipahami sebagaimana mestinya. Ini merupakan sebuah fakta dalam praktik pembelajaran matematika di kelas, yang sering dan terjadi pada kebanyakan siswa di kelas matematika.

Untuk hal tersebut di atas, sebuah pemikiran yang perlu dilakukan bagi seorang guru matematika adalah mampu membangun konsep kesamaan bilangan bentuk rasional secara utuh berdasarkan konsep yang memadai, sehingga mampu membelajarkan peserta didik secara lebih efektif.  Pertanyaan yang muncul sebagai upaya membangun konsep adalah (1) Apa makna konsep bilangan rasional?, (2) Bagaimanakah bentuk rasional yang sama?, (3) Bagaimanakah penggunaan konsep kesamaan bilangan bentuk rasional pada kesebangunan bangun datar?

Konsep Bilangan Rasional

Peahaman istilah rasional secara umum adalah sebuah istilah yang maknanya masuk di akal, suatu kondisi yang menyatakan hubungan sebab akibat yang logis, sebuah bentuk pemikiran yang berdasar pada suatu acuan atau criteria yang berlaku. Namun demikian, secara matematik, istilah tersebut dari kata dasarnya “rasio”, yang merujuk pada suatu bentuk perbandingan dua buah kuantitas yang menyatakan perbandingan bilangan (nilai besaran tertentu) atas suatu konteks tertentu (besaran tertentu=variabel). Dalam tulisan ini, tentu difokuskan pada makna istilah rasional yang kedua, yakni tentang bentuk-bentuk perbandingan dua bilangan secara umum.

Apabila sebuah bilangan a yang tidak bernilai nol dan bilangan b tidak bernilai nol diperbandingan a terhadap b, maka dituliskan a : b. Bentuk lainnya yang menyatakan perbandingan tersebut adalah . Maka bentuk ini disebut sebagai bentuk rasional. Secara konseptual, ilustrasi tersebut dalam ensiklopedia matematika disebutkan bahwa bilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ; a dan b adalah bilangan bulat, dan b tidak boleh sama dengan nol (Negoro dan Harahap, 1998:45; Bartle and Sherbert,1992:27)). Bentuk  atau dinyatakan dalam a : b sebagai bentuk rasional dapat menentukan nilai rasio atau nilai perbandingan, yang ditentukan dengan mengoperasikan pembagian bagian kiri atau atas (pembilang) oleh bagian kanan atau bawah (penyebut). Nilai rasio inilah yang memberikan nilai tertentu yang dapat menjadi acuan penentuan hubungan kesamaan atau ketidaksamaan bilangan rasional yang satu dengan lainnya. Jadi bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk perbandingan atas dua bilangan bulat, dan dapat menyatakan perbandingan dua besaran tertentu.

Bilangan Rasional yang nilai perbandingannya menyatakan rasio kedua bilangan dan diperoleh dengan cara melakukan pembagian atas keduanya, memberikan ciri tersendiri sebagai bilangan decimal (berbasis 10). Misalnya,  ¾ = 3: 4 = 0,75000000;  4/3= 1,33333;  4/4= 1,00000;  5/3= 1,666666;  2/9 = 0,222222;  23/99= 0,232323… dan yang lainnya. Bilangan-bilangan tersebut bernilai bilangan decimal yang angkanya dibelakang tanda koma adalah angka-angka yang berpola dengan pengulangan menurut banyak angka tertentu. Berbeda dengan bilangan (akar 3) = 1,732050807….; (akar 5)  = 2,2360679774….; dan bilangan bentuk akar lainnya. Bilangan-bilangan ini memiliki nilai decimal, yang angkanya di belakang  tanda koma tidak memiliki pola pengulangan tertentu, melainkan selalu acak. Nilai decimal yang demikian memberikan gambaran bedanya bilangan Rasional dan bilangan Irrasional. Dalam Purcell and Varberg(1989: 7) dinyatakan bahwa setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu decimal berulang. Jadi, bilangan Rasional memiliki nilai rasio sebagai bilangan decimal dengan angka decimal yang berpola dan berulang sebanyak digit tertentu .

Sesuai uraian di atas, bilangan rasional dapat dikenali dari beberapa hal, yaitu bentuk dan ciri-ciri angka rasionya dalam bilangan decimal. Secara formal, bilangan rasional berbentuk , a dan b bilangan bulat dan b tidak sama nol. Secara decimal, bilangan tersebut merupakan bentuk decimal yang memiliki pola pengulangan angka-angka desimalnya. Angka-angka decimal bilangan rasional menyatakan nilai rasio atau nilai perbandingan kedua bilangan bulat yang diperbandingkan yang diperoleh melalui proses pembagian bagian pembilang oleh bagian penyebut, yang hanya berlaku jika pembaginya tidak sama dengan nol.

Kesamaan Bilangan Bentuk Rasional

Bilangan yang bentuknya identik dengan bilangan rasional adalah bilangan pecahan. Bilangan pecahan juga dinyatakan dalam bentuk a/b; b tidak sama nol, a dan b adalah relative prime. Artinya, bilangan a dan bilangan b tidak memiliki factor persekutuan selain bilangan 1. Secara konseptual, bilangan pecahan dinyatakan seperti itu. Namun, yang lebih penting adalah makna pecahan dari setiap bilangan pecahan tersebut, yang dapat mengantarkan pada makna bilangan rasional yang lebih luas, yakni bilangan rasional sebagai bilangan pecahan. Kesamaan bilangan bentuk rasional dapat dipahami dengan cara memahami makna kesamaan bilangan pecahan.

Dalam Harahap dan Negoro (1998:260) bilangan pecahan dimaknai sebagai bilangan yang menggambarkan bagian dari suatu keseluruhan, bagian dari suatu daerah, bagian dari suatu benda, atau bagian dari suatu himpunan. Misal pecahan 1/4, artinya adalah 1 bagian dari 4 bagian keseluruhan, 1 daerah dari 4 daerah keseluruhan, 1 benda dari 4 benda keseluruhan, 1 himpunan dari 4 himpunan keseluruhan.  Apabila pecahan tersebut digambarkan sebagai bagian bidang datar adalah sebagai berikut:

Selebihnya bisa dibaca dalam tautan berikut:

BILANGAN RASIONAL SENILAI DAN KESEBANGUNAN


[1] Trisdyanto, guru Matematika SMP Negeri 1 Bungoro Pangkep

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s